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A君，B君の二人で，次の石取りゲームをします。
例えば，はじめに20個の石があります。
① Ａ君は5個の石を取りました。
② Ｂ君は残った15個の石から６個の石を取りました。
③ Ａ君は残った９個の石から１個の石を取りました。
④ Ｂ君は残った８個の石から５個の石を取りました。
⑤ Ａ君は残った３個の石から３個すべてを取ったので，ゲームに勝ちました。
(1) はじめに15個の石があります。そこからA君は３個の石を取りました。次にB君は何個の石を取れば，A君の石の取り方によらず，B君は必ず勝つことができますか。
(2) はじめにある石が40個，41個，42個，43個のうち，A君の石の取り方によらず，B君が必ず勝つことができるはじめの石の個数をすべて選びなさい。
(3) はじめにある石が10個以上100個以下の場合，B君の石の取り方によらず，A君が必ず勝つことができるはじめの石の個数は何通りありますか。
ゲームの必勝法に関する問題です。よく見かけるのは「最後の石を取った人が負け」というルールですが，本問はその逆ですね。
(1) 次はB君の手番で，石は15－3＝12(個)残っています。
B君が必ず勝つということは，A君が何個取ったとしても
最後の1個を取ることができないということです。
1＋6＝2＋5＝3＋4＝7 …… ☆
に注目すると，B君が7個の石を残して
（5個の石を取って）A君に手番を回せばよいとわかります。
実際，次にA君がすべての石を取ることはできず，その次の
B君の手番ですべての石を取ることができるため，
B君は必ず勝つことができます。
(2) ☆に注目して，「直前に相手が取った石の個数との
和が7個になるように石を取り続ける」という戦略(★)を考えます。
はじめにある石の個数が7の倍数のとき，
B君は必ず勝つことができます。なぜなら，
★を繰り返すことで，必ず最後の石を取ることができるからです。
一方，はじめにある石の個数が7の倍数でないとき，
A君は必ず勝つことができます。なぜなら，A君は1手目に
「石の個数を7で割った余り」の個数の石を取って
石の個数を7の倍数とし，そのあとは★を繰り返すことで，
必ず最後の石を取ることができるからです。
40，41，42，43の中から7の倍数を選んで，答えは42個です。
(3) A君が必ず勝つことができるのは，はじめの石の個数が
7の倍数でないときです。
10以上100以下の整数は91個あります。そのうち
7の倍数は7×2から7×14までの13個なので，
答えは
91－13＝78(通り)
中学への算数
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●編集方針●
最近の中学入試では、型にこだわらない新傾向問題が増えています。 これらは、ためしたり、かぞえたり、整理したり、場合を分けたり、 規則性を発見したり、グラフを書いたり、図形を動かしたり、 立体をいろいろとりあつかったり、というように、 単なる反復練習では解くことのできない、 数学的な発想力や思考力を要求される問題です。 それに応える力を育てることが本誌の最大の目標です。同時に、受験を離れたところでも、算数のおもしろさ、 楽しさを伝えていきます。
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海城は“好奇心と粘り”をもった皆さんに応える数学を展開します。君の入学を待っています。